ナンバーズ3 理論値の概略

ナンバーズ3 理論値計算の概略図

理論値とは全パターン均等に申込みがあったと仮定して計算した金額のことです。ナンバーズ3の場合、「000」から「999」までの全部で1,000通りに均等に申込があったとき当せん金額はいくらになるのか？ってことなので、ナンバーズ4、ミニロト、ロト6と同じように実際に計算してみようと思います。

簡単に考えたいので全ての数字に1口ずつ申し込みがあったことにしてみます。ナンバーズ3は全1,000通りで1口は200円なので1,000（通り）×200円＝200,000円。20万円でストレートの全通り買いまたはボックスの全通り買いができて絶対に当たることになります。ボックスに当たるだけならもっと低額でも可能ですがここでは全通り均等に申し込みがあったとして考えていきます。
言葉だけで理解しようとしても頭がごちゃごちゃになってしまいそうなので簡単な図にしてみました。それが下の図です。

ナンバーズ3のストレートで全ての数字に1口ずつ申し込みがあったとすると、売り上げは1,000口×200円＝200,000円。当せん者数（口）は1口のみなので上図でz％がわかれば理論値の金額が計算できます。そこで、売り上げの合計額20万円のうち当せん者に戻るパーセント、還元率について調べてみました。※「000」などの3つとも同じ数字のトリプルパターンの場合はボックスやセットに申し込みができませんが、このページでは申込み可能なものと仮定して考えていきます。

宝くじの法律

当せん金付証票法（2006年）

ロトやナンバーズは当せん金付証票法という法律に定められています。
平成24年（2012年）に法律が改正されました。次の記述は改正前のものです。

（当せん金付証票の当せん金品の限度）
第五条 　当せん金付証票の当せん金品の金額又は価格の総額は、その発売総額の五割に相当する額（加算型当せん金付証票にあつては、その額に加算金（第二条第二項の加算金をいう。以下同じ。）の額を加えた額）をこえてはならない。
２ 　一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格は、証票金額の二十万倍に相当する額を超えてはならない。ただし、総務大臣が当せん金付証票に関する世論の動向等を勘案して指定する当せん金付証票については、一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格は、証票金額の百万倍（総務大臣の指定する当せん金付証票が加算型当せん金付証票である場合で加算金のあるときにあつては、二百万倍）に相当する額を超えない範囲の額とすることができる。

（当せん金付証票の意義）
第二条 　この法律において「当せん金付証票」とは、その売得金の中から、くじびきにより購買者に当せん金品を支払い、又は交付する証票をいう。
２ 　この法律において「加算型当せん金付証票」とは、当せん金付証票のうち、購入に当たつて、くじ引の対象となる数字の中から一定数の数字を選択し、当該選択した数字とくじ引により選択された数字との合致の割合に応じて当せん金品を支払い、又は交付するものであつて、次の各号に掲げる場合における当該各号に定める額の合計額を次回の同種の当せん金付証票を発売する場合においてその当せん金品の金額又は価格の総額に加算金として算入するものをいう。
一 　いずれかの合致の割合に該当する当せん金付証票がない場合　当該合致の割合に係る配分額（当該当せん金品の金額又は価格の総額を合致の割合ごとに配分したものをいう。次号において同じ。）
二 　それぞれの合致の割合に係る配分額を当該合致の割合に該当する各当せん金付証票にあん分した金額又は価格が第五条第二項に規定する一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格を超える場合　当該超える部分の金額又は価格の総額

大事そうなところを抜き出してみると、当せん金に関しては以下の金額を超えてはいけないとなっています。
【当せん金の総額】
・発売総額の五割
・発売総額の五割に加算金を加えた額（加算型当せん金付証票）
【当せん金の最高額】
・証票金額の二十万倍
・証票金額の百万倍（総務大臣が指定する当せん金付証票）
・証票金額の二百万倍（総務大臣が指定する当せん金付証票で加算金のあるとき）

法律的には五割を超えてはいけないなどとなっているだけで具体的に何％とは決まっていないみたいです。そこで他にも調べてみると多少のバラつきはあるものの、ロトやナンバーズの還元率は45％と書かれているところが多いです。下で計算していますが還元率が45%でなければ上表の金額にはならないのでこの値で計算していきます。

当せん金付証票法（2012年）

平成24年（2012年）に法律が改正されました。

（当せん金付証票の当せん金品の限度）
第五条 　当せん金付証票の当せん金品の金額又は価格の総額は、その発売総額の五割に相当する額（加算型当せん金付証票にあつては、その額に加算金（第二条第二項の加算金をいう。以下同じ。）の額を加えた額）をこえてはならない。
２ 　一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格は、証票金額の五十万倍に相当する額を超えてはならない。ただし、総務大臣が当せん金付証票に関する世論の動向等を勘案して指定する当せん金付証票については、一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格は、証票金額の二百五十万倍（総務大臣の指定する当せん金付証票が加算型当せん金付証票である場合で加算金のあるときにあつては、五百万倍）に相当する額を超えない範囲の額とすることができる。

（当せん金付証票の意義）
第二条 　この法律において「当せん金付証票」とは、その売得金の中から、くじびきにより購買者に当せん金品を支払い、又は交付する証票をいう。
２ 　この法律において「加算型当せん金付証票」とは、当せん金付証票のうち、購入に当たつて、くじ引の対象となる数字の中から一定数の数字を選択し、当該選択した数字とくじ引により選択された数字との合致の割合に応じて当せん金品を支払い、又は交付するものであつて、次の各号に掲げる場合における当該各号に定める額の合計額を次回の同種の当せん金付証票を発売する場合においてその当せん金品の金額又は価格の総額に加算金として算入するものをいう。
一 　いずれかの合致の割合に該当する当せん金付証票がない場合　当該合致の割合に係る配分額（当該当せん金品の金額又は価格の総額を合致の割合ごとに配分したものをいう。次号において同じ。）
二 　それぞれの合致の割合に係る配分額を当該合致の割合に該当する各当せん金付証票にあん分した金額又は価格が第五条第二項に規定する一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格を超える場合　当該超える部分の金額又は価格の総額

上と同じように抜き出してみると、
【当せん金の総額】
・発売総額の五割
・発売総額の五割に加算金を加えた額（加算型当せん金付証票）
【当せん金の最高額】
・証票金額の五十万倍
・証票金額の二百五十万倍（総務大臣が指定する当せん金付証票）
・証票金額の五百万倍（総務大臣が指定する当せん金付証票で加算金のあるとき）
になっているので最高額の部分が変わっています。200円の50万倍は1億円、500万倍は10億円なのでキャリーオーバーで10億円というくじも可能なようです。ただ次のような条文もあるので一応記しておきます。

（当せん金付証票法の一部改正に伴う経過措置）
第四条 　第三条の規定による改正後の当せん金付証票法の規定は、この法律の施行の日前に同条の規定による改正前の当せん金付証票法第六条第三項の規定による公告がされた当せん金付証票以外の当せん金付証票について適用し、この法律の施行の日前に同項の規定による公告がされた当せん金付証票については、なお従前の例による。

いずれにせよ、今必要な還元率に関する部分は何も変わっていません。それに1等賞金が2.5倍ということは当せんすることもそれだけ難しい、ギャンブル性を高めただけって気がします。どうせなら「発売総額の八割」と変わった方が購入者側のメリットは大きいと思うのですが、胴元が自分自身の首を絞める法改正をするわけ無いですよね。

新しい法律が施行されても理論値の計算や実際の当せん金額の計算に変わりはないので、次に還元率45％で理論値の計算をやってみます。

ナンバーズ3 理論値の計算

ストレートとボックスの理論値

ナンバーズ3のストレートで全ての数字に1口ずつ申し込みがあったとすれば発売総額は20万円で当せん者は1名（口）のみなので、
【ストレート】
（発売総額）×（還元率）÷（当せん者数）＝200,000円×45％÷1口＝90,000円/口＝（理論値）
となります。ということで、還元率が45％でなければ理論値は90,000円にならないので、還元率は45％として考えて支障はなさそうです。

ナンバーズ3のボックスで全ての数字に1口ずつ申込みがあったとすれば発売総額は20万円で当せん者数は2パターンに分けて考える必要があります。抽せん結果がシングルパターンだった時は当せん者は6名（口）、ダブルパターンだった時は当せん者は3名（口）いることになるので各々分けて計算します。
【シングル－ボックス】
（発売総額）×（還元率）÷（当せん者数）＝200,000円×45％÷6口＝15,000円/口＝（理論値）
【ダブル－ボックス】
（発売総額）×（還元率）÷（当せん者数）＝200,000円×45％÷3口＝30,000円/口＝（理論値）
となります。
※ボックスやセットの場合「000」などのトリプルパターンは申込みできませんが、このページでは申込み可能なものと仮定して計算しています。

セットの理論値

セットの場合はちょっと悩みましたが非常に簡単に考えたいので、セットは「ストレートとボックスに半分ずつ申し込むもの」ということから、発売総額を半分にして考えてみます。

ナンバーズ3のセットで全ての数字に1口ずつ申し込みがあったとすれば発売総額は20万円でストレート分とボックス分がそれぞれ10万円ずつだと分けて計算してみます。

【セットストレート】
（発売総額）×（還元率）÷（当せん者数）＝100,000円×45％÷1口＝45,000円/口＝（ストレート分の当せん金額）
【シングル－セットボックス】
（発売総額）×（還元率）÷（当せん者数）＝100,000円×45％÷6口＝7,500円/口＝（理論値）
【ダブル－セットボックス】
（発売総額）×（還元率）÷（当せん者数）＝100,000円×45％÷3口＝15,000円/口＝（理論値）

ストレートの当せん者はストレートにもボックスにも当せんしていることになるので両方の当せん金額を受け取ることができます。
【シングル－セットストレート】
（ストレート分）＋（ボックス分）＝45,000円/口＋7,500円/口＝52,500円/口＝（理論値）
【ダブル－セットストレート】
（ストレート分）＋（ボックス分）＝45,000円/口＋15,000円/口＝60,000円/口＝（理論値）
※ボックスやセットの場合「000」などのトリプルパターンは申込みできませんが、このページでは申込み可能なものと仮定して計算しています。

ミニの理論値

ミニの場合、「00」から「99」の全100通りなので全ての数字に1口ずつ申込があったと仮定すると、（発売総額）＝100通り×200円＝20,000円で当せん者は1名（口）のみなので、
【ミニ】
（発売総額）×（還元率）÷（当せん者数）＝20,000円×45％÷1口＝9,000円/口＝（理論値）
となります。

ナンバーズ3 ストレートからミニまでまとめて理論値計算

個別計算の問題点

ナンバーズ3のストレート、ボックス、セット、ミニの4つをそれぞれ個別に計算してみました。これで理論値の概略を理解する分には役立ったのですがしっくりこないところがあります。ボックスやセットのトリプルパターンをどう処理すれば良いのかということもあります。他にも、上の計算のままではストレートやボックスなど個別に発売総額がわからなければ当せん金額もわかりません。簡単に概略を捉えるために全ての数字に1口ずつ申込があったと仮定して考えてきたので例えばミニなら発売総額が2万円とすぐに計算できたのですが、実際の当せん金額を計算する際に各々の発売総額がいくらだったのかさっぱりわかりません。

それと、理論値とは全パターン均等に申込みがあったと仮定して計算した金額なので、ストレートからミニまで全てのパターンに均等に申込みがあったとして計算する必要がありそうです。ナンバーズ3のストレート、ボックス、セット、ミニの全ての数字に1口ずつ申し込みがあったと仮定すれば発売総額は62万円なのでこの額から理論値の計算をしてみたいと思います。

発売総額と当せん金総額

ナンバーズ3のストレート、ボックス、セット、ミニの全ての数字に1口ずつ申し込みがあったと仮定すれば、
（ストレートの発売総額）＝全1,000口×200円/口＝200,000円
（ボックスの発売総額）＝全1,000口×200円/口＝200,000円
（セットの発売総額）＝全1,000口×200円/口＝200,000円
（ミニの発売総額）＝全100口×200円/口＝20,000円
（発売総額）＝（ストレートの発売総額）＋（ボックスの発売総額）＋（セットの発売総額）＋（ミニの発売総額）＝200,000円＋200,000円＋200,000円＋20,000円＝620,000円
（当せん金の総額）＝（発売総額）×（還元率）＝620,000円×45％＝279,000円
となり、この279,000円を各当せん者数（口）で配分することになります。
※ボックスやセットの場合「000」などのトリプルパターンは申込みできませんが、このページでは申込み可能なものと仮定して計算しています。

シングルパターンの理論値

抽せん数字がシングルパターンの場合、当せん者数（口）はストレート1口、ボックス6口、セットストレート当たり1口、セットボックス当たり5口、ミニ1口になります。
ストレートの当せん金額をA円/口とすればボックスはA/6、セットストレート当たりはA/2＋A/12＝7A/12、セットボックス当たりはA/12、ミニはA/10なので、
（当せん金の総額）＝A×（ストレート当せん者数）＋A/6×（ボックス当せん者数）＋7A/12×（セットストレート当せん者数）＋A/12×（セットボックス当せん者数）＋A/10×（ミニ当せん者数）
＝A/60×｛60×（ストレート当せん者数）＋10×（ボックス当せん者数）＋35×（セットストレート当せん者数）＋5×（セットボックス当せん者数）＋6×（ミニ当せん者数）｝
＝279,000円＝（発売総額）×（還元率）

A＝60×（発売総額）×（還元率）÷｛60×（ストレート当せん者数）＋10×（ボックス当せん者数）＋35×（セットストレート当せん者数）＋5×（セットボックス当せん者数）＋6×（ミニ当せん者数）｝
となります。これで発売総額と当せん者数（口）で当せん金額の計算ができるようになりました。

各値を入れて当せん金額の計算をしてみると、
【ストレート】
A＝60×620,000円×45％÷（60×1口＋10×6口＋35×1口＋5×5口＋6×1口）＝16,740,000円/186口＝90,000円/口＝（理論値）
【ボックス】
A/6＝90,000円/口÷6＝15,000円/口＝（理論値）
【セットストレート】
7A/12＝90,000円/口×7/12＝52,500円/口＝（理論値）
【セットボックス】
A/12＝90,000円/口÷12＝7,500円/口＝（理論値）
【ミニ】
A/10＝90,000円/口÷10＝9,000円/口＝（理論値）
となります。以上でナンバーズ3のシングルパターンの理論値は計算できました。

ダブルパターンの理論値

抽せん数字がダブルパターンの場合、当せん者数（口）はストレート1口、ボックス3口、セットストレート当たり1口、セットボックス当たり2口、ミニ1口になります。
ストレートの当せん金額をA円/口とすればボックスはA/3、セットストレート当たりはA/2＋A/6＝2A/3、セットボックス当たりはA/6、ミニはA/10なので、
（当せん金の総額）＝A×（ストレート当せん者数）＋A/3×（ボックス当せん者数）＋2A/3×（セットストレート当せん者数）＋A/6×（セットボックス当せん者数）＋A/10×（ミニ当せん者数）
＝A/30×｛30×（ストレート当せん者数）＋10×（ボックス当せん者数）＋20×（セットストレート当せん者数）＋5×（セットボックス当せん者数）＋3×（ミニ当せん者数）｝
＝279,000円＝（発売総額）×（還元率）

A＝30×（発売総額）×（還元率）÷｛30×（ストレート当せん者数）＋10×（ボックス当せん者数）＋20×（セットストレート当せん者数）＋5×（セットボックス当せん者数）＋3×（ミニ当せん者数）｝
となります。これで発売総額と当せん者数（口）で当せん金額の計算ができるようになりました。

各値を入れて当せん金額の計算をしてみると、
【ストレート】
A＝30×620,000円×45％÷（30×1口＋10×3口＋20×1口＋5×2口＋3×1口）＝8,370,000円/93口＝90,000円/口＝（理論値）
【ボックス】
A/3＝90,000円/口÷3＝30,000円/口＝（理論値）
【セットストレート】
2A/3＝90,000円/口×2/3＝60,000円/口＝（理論値）
【セットボックス】
A/6＝90,000円/口÷6＝15,000円/口＝（理論値）
【ミニ】
A/10＝90,000円/口÷10＝9,000円/口＝（理論値）
となります。以上でナンバーズ3のダブルパターンの理論値は計算できました。

トリプルパターンの理論値

表2にはありませんがトリプルパターンについても考えてみます。このページではボックスやセットで実際に申込むことのできない「000」なども申込み可能と仮定して計算してきました。なので例えば「000」で考えてみると、普通にストレートとして申込んだ分、ボックスとして申込んだ分、セットとして申込んだ分の3つがあることになるので理論値の計算は次のようになります。

抽せん数字がトリプルパターンの場合、当せん者数（口）はストレート3口、ミニ1で、ボックス、セットストレート、セットボックスは該当なしになります。
ストレートの当せん金額をA円/口とすればミニはA/10で、ボックス、セットストレート、セットボックスは該当なしなので、
（当せん金の総額）＝A×（ストレート当せん者数）＋A/10×（ミニ当せん者数）
＝A/10×｛10×（ストレート当せん者数）＋（ミニ当せん者数）｝
＝279,000円＝（発売総額）×（還元率）

A＝10×（発売総額）×（還元率）÷｛10×（ストレート当せん者数）＋（ミニ当せん者数）｝
となります。これで発売総額と当せん者数（口）で当せん金額の計算ができるようになりました。

各値を入れて当せん金額の計算をしてみると、
【ストレート】
A＝10×620,000円×45％÷（10×3口＋1口）＝2,790,000円/31口＝90,000円/口＝（理論値）
【ミニ】
A/10＝90,000円/口÷10＝9,000円/口＝（理論値）
となります。以上でナンバーズ3のトリプルパターンの理論値は計算できました。

ナンバーズ3 当せん金額計算式

これでナンバーズ3の全パターンで理論値が発売総額と当せん者数（口）を使って計算できるようになりました。トリプルパターンの処理や個別の発売総額が不明な点なども解消されたと思います。計算式をまとめてみると、
【シングルパターン】
ストレート：A、ボックス：A/6、セットストレート：7A/12、セットボックス：A/12、ミニ：A/10
A＝60×（発売総額）×（還元率）÷｛60×（ストレート当せん者数）＋10×（ボックス当せん者数）＋35×（セットストレート当せん者数）＋5×（セットボックス当せん者数）＋6×（ミニ当せん者数）｝
【ダブルパターン】
ストレート：A、ボックス：A/3、セットストレート：2A/3、セットボックス：A/6、ミニ：A/10
A＝30×（発売総額）×（還元率）÷｛30×（ストレート当せん者数）＋10×（ボックス当せん者数）＋20×（セットストレート当せん者数）＋5×（セットボックス当せん者数）＋3×（ミニ当せん者数）｝
【トリプルパターン】
ストレート：A、ミニ：A/10、ボックス、セットストレート、セットボックス：該当なし
A＝10×（発売総額）×（還元率）÷｛10×（ストレート当せん者数）＋（ミニ当せん者数）｝
となります。Aはストレートの当せん金額（円/口）です。これらを使っていくつか実際の販売実績で計算してみたいと思います。

期待値の計算

最後に、いくつか期待値を求めてみます。（期待値）＝（確率）×（当せん金額）なので、
【ストレート】
（期待値）＝1/1,000×90,000円＝90円
【ボックス】
（期待値）＝6/1,000×15,000円＝90円
【セット】
（期待値）＝1/1,000×52,500円＋5/1,000×7,500円＝90円
還元率が45%なので当然ですが理論上の期待値は90円になりました。（200円×45％＝90円）理論上は90円ですが実際の結果ではどうなっているか気になるところです。