ナンバーズ3の当せん確率

全通りの個数

・ナンバーズ3：好きな3ケタの数字を選ぶ。（「000」から「999」の1,000個から）
・ミニ：好きな下2ケタの数字を選ぶ。（「*00」から「*99」の100個から）
この全通りの個数（ナンバーズ3は1,000個、ミニは100個）が当せん確率の分母になるのですが、実際にそれぞれ数字を選んでみます。
（1）百の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に1を選んだとします。
（2）十の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に2を選んだとします。
（3）一の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に3を選んだとします。
これで順番に「1，2，3」と3つの数字が選べました。ナンバーズ3で好きな3ケタの数字の選び方は3つのケタでそれぞれ10個から選べるので、10（百の位で選ぶ数）×10（十の位で選ぶ数）×10（一の位で選ぶ数）＝1,000（通り）＝全通り個数、ミニは2ケタなので10（十の位で選ぶ数）×10（一の位で選ぶ数）＝100（通り）＝全通り個数になります。

ストレート＆ミニの当せん確率

ナンバーズ3ではストレートの当せん条件が「3ケタの数字と並びの順序が一致」、ミニの当せん条件は「下2ケタの数字と並びの順序が一致」となっています。この条件を満たすのはシングルやダブルなどのパターンに関係なく絶対に1通りしかありません。（表1）
ナンバーズ3のストレートは全部で1,000通りあってその中に当せんになるのは1通りのみ。ミニは全部で100通りあってその中に当せんになるのは1通りのみなので、ストレートとミニの当せん確率はそれぞれ1/1,000、1/100になります。

シングル－ボックスの当せん確率

ナンバーズ3のボックスでは当せん条件が「3ケタの数字が一致すれば並びの順序は問わない」となっています。表1のように書き出してみれば個数はわかります。もしも計算で個数を求めるなら、例えば抽せん数字が「123」のようなシングルパターンだとすると「1，2，3」の3つを「ア，イ，ウ」と3つの場所にあてはめてみます。
（ア）：1～3の3個から選ぶ。仮に3を選んだとすると「3，イ，ウ」になります。
（イ）：1～2の2個から選ぶ。仮に2を選んだとすると「3，2，ウ」になります。
（ウ）：残っているのは1の1個のみなので「3，2，1」になります。
抽せん数字が「1，2，3」のときボックスで「3，2，1」は当せんになります。このように数字が同じで並ぶ順序が異なるものは、ナンバーズ3のシングル－ボックスでは全1,000通り中に3（アで選ぶ数）×2（イで選ぶ数）×1（ウで選ぶ数）＝6（通り）あるので当せん確率は6/1,000になります。

ダブル－ボックスの当せん確率

当せん条件は上と同じで「3ケタの数字が一致すれば並びの順序は問わない」で個数も表1のように書き出してみれば数えることができます。もしも計算で個数を求めるなら、例えば抽せん数字が「112」のようなダブルパターンのときは2つある1を1a，1bと仮に区別し「1a，1b，2」の3つを「ア，イ，ウ」と3つの場所にあてはめると考えます。
（ア）：1a，1b，2の3個から選ぶ。仮に1aを選んだとすると「1a，イ，ウ」になります。
（イ）：1b，2の2個から選ぶ。仮に2を選んだとすると「1a，2，ウ」になります。
（ウ）：残っているのは1bの1個のみなので「1a，2，1b」になります。
実際には1aと1bは区別がつきません。「1a，2，1b」と「1b，2，1a」の2つが「1，2，1」と1つの同じものなので、数字がダブったときは当せんになる数を半分にします。
結局、ナンバーズ3のダブル－ボックスは全1,000通りで当せんになるのは（3（アで選ぶ数）×2（イで選ぶ数）×1（ウで選ぶ数））÷2（ダブルの分）＝3（通り）となり、当せん確率は3/1,000になります。

セットの当せん確率

ナンバーズ3のセットは「ストレートとボックスに半分ずつ申し込むもの」となっています。
・シングルパターンの場合はボックス当せんの6通り中1通りは必ずストレートに当せんし残りの5通りがボックス当せん。
・ダブルパターンの場合はボックス当せんの3通り中1通りは必ずストレートに当せんし残りの2通りがボックス当せん。
結局、ナンバーズ3のセットの当せん確率は、シングルのストレート当たりが1/1,000、ボックス当たりが5/1,000。ダブルのストレート当たりが1/1,000、ボックス当たりが2/1,000になります。

ナンバーズ3 各パターンの個数

シングルパターン

「抽せん数字が123のとき」のシングルパターンは全1,000通り中いくつあるのか考えてみます。エクセル等で「000」～「999」まで全て書いてみてシングルの個数を実際に数えると確実に個数がわかりますがここでは違う方法でやってみます。シングルは百の位、十の位、一の位で各ケタの数字が全て異なるパターンなので、
（1）百の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に0を選んだとします。（0はもう選べない。）
（2）十の位：「1～9」の9個から1つ選ぶ。仮に1を選んだとします。（0と1はもう選べない。）
（3）一の位：「2～9」の8個から1つ選ぶ。
というように、シングルパターンでは1つ数字を選ぶとその数字は使えなくなるので、次からは1つ減った中から選ぶことになります。
結局、ナンバーズ3シングルパターンの個数＝10（百の位）×9（十の位）×8（一の位）＝720（通り）となります。

ダブルパターン

次は「抽せん数字が112のとき」のダブルパターンを考えてみます。これも全て書いて実際に数えると確実に個数がわかりますが違う方法でやってみます。
ダブルパターンの数＝（10個中2個の組合せ）×（どちらをダブルにするか）×（並べ方）で求めることができます。
（10個中2個の組合せ）
まずは、「112」の1と2のようなダブル数字以外の2つの数字を決めます。1つ目は「0～9」の10個から選び、2つ目は1つ目で選んだ以外の9個から選ぶことになるので、10個中2個の選び方＝10（1つ目）×9（2つ目）＝90（通り）。このうち「1個目が1、2個目が2」と「1個目が2、2個目が1」のような同じ数字の組を重複して数えてしまっているので実際は90通りの半分で良いことになり、（10個中2個の組合せ）＝90（2個の選び方）÷2（重複分）＝45（通り）になります。
（どちらをダブルにするか）
上で2つの数字を1と2にすると決めました。このうちどちらをダブルにするかの個数は、「1をダブルにする」か「2をダブルにする」の2通りになります。
（並べ方）
2つの数字が1と2で1をダブルにすると決めたことにします。このとき並べ方は「112」、「121」、「211」の3通りになります。
結局、ナンバーズ3ダブルパターンの個数＝45（10個中2個の組合せ）×2（ダブル数字の選び方）×3（並べ方）＝270（通り）となります。

トリプルパターン

最後に表1にはありませんがトリプルパターンの個数も書いておきます。これは単純に「000」「111」「222」・・・「999」しかないので個数はすぐにわかります。
結局、ナンバーズ3トリプルパターンの個数＝10（通り）になります。
各パターンを合計してみると、（シングル）＋（ダブル）＋（トリプル）＝720＋270＋10＝1,000＝（全通り）となり一番上で計算した全通りの個数と一致するので間違いのないことがわかります。