ロト6 理論値の概略

ロト6 理論値計算の概略図

理論値とは、全パターン均等に申込みがあったと仮定して計算した金額のことです。
ロト6は1～43の数字から異なる6個の数字を選ぶので、「01，02，03，04，05，06」や「38，39，40，41，42，43」などの全部で6,096,454通りになります。理論値はこの全6,096,454通りに均等に申込があったときに当せん金額はいくらになるのか？ってことなので、ナンバーズ3、ナンバーズ4、ミニロトと同じように実際に理論値を計算してみようと思います。

簡単に考えたいので、全パターン均等に1口ずつ申し込みがあったことにしてみます。言葉だけではわかりにくかったので簡単な図にしてみました。あくまでも単純に考えるための概略図です。

ロト6で全パターン均等に1口ずつ申し込みがあったとすると、売り上げは全6,096,454口×200円/口＝1,219,290,800円、当せん者数（口）は1等が1口、2等が6口、3等が216口、4等が9,990口、5等が155,400口になります。総売上額1,219,290,800円のうち当せん者に戻るパーセント、上図のz％（還元率）と、各等級に分けられるパーセント（配分率）がわかれば理論値の計算ができるので還元率と配分率の値はいったいどうなっているのか調べてみました。

宝くじの法律

当せん金付証票法（2006年）

ロトやナンバーズは当せん金付証票法という法律に定められています。
平成24年（2012年）に法律が改正されました。次の記述は改正前のものです。

（当せん金付証票の当せん金品の限度）
第五条 　当せん金付証票の当せん金品の金額又は価格の総額は、その発売総額の五割に相当する額（加算型当せん金付証票にあつては、その額に加算金（第二条第二項の加算金をいう。以下同じ。）の額を加えた額）をこえてはならない。
２ 　一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格は、証票金額の二十万倍に相当する額を超えてはならない。ただし、総務大臣が当せん金付証票に関する世論の動向等を勘案して指定する当せん金付証票については、一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格は、証票金額の百万倍（総務大臣の指定する当せん金付証票が加算型当せん金付証票である場合で加算金のあるときにあつては、二百万倍）に相当する額を超えない範囲の額とすることができる。

（当せん金付証票の意義）
第二条 　この法律において「当せん金付証票」とは、その売得金の中から、くじびきにより購買者に当せん金品を支払い、又は交付する証票をいう。
２ 　この法律において「加算型当せん金付証票」とは、当せん金付証票のうち、購入に当たつて、くじ引の対象となる数字の中から一定数の数字を選択し、当該選択した数字とくじ引により選択された数字との合致の割合に応じて当せん金品を支払い、又は交付するものであつて、次の各号に掲げる場合における当該各号に定める額の合計額を次回の同種の当せん金付証票を発売する場合においてその当せん金品の金額又は価格の総額に加算金として算入するものをいう。
一 　いずれかの合致の割合に該当する当せん金付証票がない場合　当該合致の割合に係る配分額（当該当せん金品の金額又は価格の総額を合致の割合ごとに配分したものをいう。次号において同じ。）
二 　それぞれの合致の割合に係る配分額を当該合致の割合に該当する各当せん金付証票にあん分した金額又は価格が第五条第二項に規定する一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格を超える場合　当該超える部分の金額又は価格の総額

抜き出してみると、当せん金に関しては以下の金額を超えてはいけないとなっています。
【当せん金の総額】
・発売総額の五割
・発売総額の五割に加算金を加えた額（加算型当せん金付証票）
【当せん金の最高額】
・証票金額の二十万倍
・証票金額の百万倍（総務大臣が指定する当せん金付証票）
・証票金額の二百万倍（総務大臣が指定する当せん金付証票で加算金のあるとき）

ロト6は総務大臣が指定する当せん金付証票にあたるので、最高額＝200円×百万＝2億円、加算金（キャリーオーバー）があるときには、最高額＝200円×二百万＝4億円、と当せん金の最高額は決められています。

還元率は発売総額の五割超えてはいけない、発売総額の五割に加算金を加えた額を超えてはいけないとなっているだけで具体的に何％とは書かれていませんが45％と決まっているのでこの値で計算していきます。

当せん金付証票法（2012年）

平成24年（2012年）に法律が改正されました。

（当せん金付証票の当せん金品の限度）
第五条 　当せん金付証票の当せん金品の金額又は価格の総額は、その発売総額の五割に相当する額（加算型当せん金付証票にあつては、その額に加算金（第二条第二項の加算金をいう。以下同じ。）の額を加えた額）をこえてはならない。
２ 　一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格は、証票金額の五十万倍に相当する額を超えてはならない。ただし、総務大臣が当せん金付証票に関する世論の動向等を勘案して指定する当せん金付証票については、一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格は、証票金額の二百五十万倍（総務大臣の指定する当せん金付証票が加算型当せん金付証票である場合で加算金のあるときにあつては、五百万倍）に相当する額を超えない範囲の額とすることができる。

（当せん金付証票の意義）
第二条 　この法律において「当せん金付証票」とは、その売得金の中から、くじびきにより購買者に当せん金品を支払い、又は交付する証票をいう。
２ 　この法律において「加算型当せん金付証票」とは、当せん金付証票のうち、購入に当たつて、くじ引の対象となる数字の中から一定数の数字を選択し、当該選択した数字とくじ引により選択された数字との合致の割合に応じて当せん金品を支払い、又は交付するものであつて、次の各号に掲げる場合における当該各号に定める額の合計額を次回の同種の当せん金付証票を発売する場合においてその当せん金品の金額又は価格の総額に加算金として算入するものをいう。
一 　いずれかの合致の割合に該当する当せん金付証票がない場合　当該合致の割合に係る配分額（当該当せん金品の金額又は価格の総額を合致の割合ごとに配分したものをいう。次号において同じ。）
二 　それぞれの合致の割合に係る配分額を当該合致の割合に該当する各当せん金付証票にあん分した金額又は価格が第五条第二項に規定する一当せん金付証票の当せん金品の最高の金額又は価格を超える場合　当該超える部分の金額又は価格の総額

上と同じように抜き出してみると、
【当せん金の総額】
・発売総額の五割
・発売総額の五割に加算金を加えた額（加算型当せん金付証票）
【当せん金の最高額】
・証票金額の五十万倍
・証票金額の二百五十万倍（総務大臣が指定する当せん金付証票）
・証票金額の五百万倍（総務大臣が指定する当せん金付証票で加算金のあるとき）
になっているので最高額の部分が変わっています。200円の50万倍は1億円、500万倍は10億円なのでキャリーオーバーで10億円というくじも可能なようです。ただ次のような条文もあるので一応記しておきます。

（当せん金付証票法の一部改正に伴う経過措置）
第四条 　第三条の規定による改正後の当せん金付証票法の規定は、この法律の施行の日前に同条の規定による改正前の当せん金付証票法第六条第三項の規定による公告がされた当せん金付証票以外の当せん金付証票について適用し、この法律の施行の日前に同項の規定による公告がされた当せん金付証票については、なお従前の例による。

いずれにせよ、今必要な還元率に関する部分は何も変わっていません。それに1等賞金が2.5倍ということは当せんすることもそれだけ難しい、ギャンブル性を高めただけって気がします。どうせなら「発売総額の八割」と変わった方が購入者側のメリットは大きいと思うのですが、胴元が自分自身の首を絞める法改正をするわけ無いですよね。

新しい法律が施行されても理論値の計算や実際の当せん金額の計算に変わりはないので、次に還元率45％で理論値の計算をやってみます。

ロト6 理論値の計算

ロト6 配分率

ロト6で全パターン均等に1口ずつ申し込みがあったとすると、
発売総額：全6,096,454口×200円/口＝1,219,290,800円
当せん金の総額：1,219,290,800円×45％（還元率）＝548,680,860円
となります。この当せん金の総額548,680,860円が当せん者全員に支払われる当せん金額の合計額なので、この額を各等級に配分する必要があります。これも簡単な図にしてみました。

実際に計算をする前に、ロト6の当せん額の決め方を挙げておきます。
ロト6の5等は原則1,000円に固定されています。実際に1,000円以外の金額になったこともありません（本ページ作成時）。ロト6ではこの1,000円を5等の当せん者に配分し、残った金額を1等～4等で配分します。上記の例では、当せん者に支払われる当せん金の総額548,680,860円から5等の当せん者155,400口に1,000円ずつ配分した残額を1等～4等に配分することになります。キャリーオーバーが発生していた場合は、キャリーオーバー額は1等への配分総額に加えて当せん金額を計算します。

1等～4等への配分率ですが公式に情報公開されているものが見つけられなかったので、いろいろと検索して探した値を使わせていただき計算したいと思います。調べた結果、各等級の配分率は、1等：25.428％、2等：22.885％、3等：27.462％、4等：24.225％です。この割合で配分された金額を、さらに各等級の当せん者で分けた金額が理論値になります。

ロト6 各等級の理論値

実際に当せん金額の理論値を計算してみます。なお、100円未満の端数は切り捨て、キャリーオーバーは無しとしています。まず始めに、5等1,000円の計算をします。
【5等】
（当せん金額）×（5等の当せん者数）
＝1,000円/口（原則固定）×155,400口＝155,400,000円＝（5等への配分総額）
（当せん者に支払われる総額）－（5等への配分総額）
＝548,680,860円－155,400,000円＝393,280,860円＝（1～4等への配分総額）
この393,280,860円を上記配分率を使って1～4等へ配分します。

【1等】
［｛（発売総額）×（還元率）－（5等への配分総額）｝×（1等の配分率）＋（キャリーオーバー額）］÷（1等の当せん者数）
＝［｛（当せん者に支払われる総額）－（5等への配分総額）｝×（1等の配分率）＋（キャリーオーバー額）］÷（1等の当せん者数）
＝｛（1～4等への配分総額）×（1等の配分率）＋（キャリーオーバー額）｝÷（1等の当せん者数）
＝（393,280,860円×25.428％＋0円）÷1口≒100,003,400円/口＝（理論値）
【2等】
（1～4等への配分総額）×（2等の配分率）÷（2等の当せん者数）
＝393,280,860円×22.885％÷6口≒15,000,300円/口＝（理論値）
【3等】
（1～4等への配分総額）×（3等の配分率）÷（3等の当せん者数）
＝393,280,860円×27.462％÷216口≒500,000円/口＝（理論値）
【4等】
（1～4等への配分総額）×（4等の配分率）÷（4等の当せん者数）
＝393,280,860円×24.225％÷9,990口≒9,500円/口＝（理論値）
以上でロト6の当せん金額の理論値が計算できました。ロト6の理論値の計算では還元率は45%、配分率は1等：25.428％、2等：22.885％、3等：27.462％、4等：24.225％として支障はなさそうです。これらの値を使っていくつか実際の販売実績で計算してみたいと思います。

期待値の計算

ロト6は期待値を計算してもあまり意味はなさそうですが一応計算してみます。期待値は（確率）×（当せん金額）を1等～5等まで合計した値なので、
【1等】
（確率）×（当せん金額）＝1/6,096,454×100,003,400円≒16.40
【2等】
（確率）×（当せん金額）＝6/6,096,454×15,000,300円≒14.76
【3等】
（確率）×（当せん金額）＝216/6,096,454×500,000円≒17.72
【4等】
（確率）×（当せん金額）＝9,990/6,096,454×9,500円≒15.57
【5等】
（確率）×（当せん金額）＝155,400/6,096,454×1,000円≒25.49
（期待値）＝16.40＋14.76＋17.72＋15.57＋25.49＝89.94
ロト6では100円未満の切り捨てがあるので理論上の期待値は89.94になります。