ナンバーズ4 引張確率理論値の計算（その2）

ナンバーズ4数字別出現個数
数字	出現		内訳
数字	個数	率	単	W	D	T	F

・各位合計、第回終了時
・内訳は同じ回にその数字が単：1個、W,D：2個、T：3個、F：4個の出現をしていたという意味です。
・「0112」のようにダブル回でも0や2は1個なのでSではなく単としてあります。

前回の抽せん結果が「0, 1, 2, 3」のようにシングルパターンだった時、「0, 0, 1, 2」のようにダブルパターンだった時、「0, 0, 1, 1」のようにダブルダブルパターンだった時、「0, 0, 0, 1」のようにトリプルパターンだった時、「0, 0, 0, 0」のようにフォースパターンだった時など全てひっくるめると、ナンバーズ4では0.8044975の確率で理論上は引っ張りが発生することになります。

それじゃあ、個別の数字ではどうなのか？例えば「0」が引っ張る確率はどうなのか？ってことが気になります。
10個の数字なんだから10分の1？抽せんで4ケタの数字が決まるから10分の4？

恥ずかしい話ですがインターバルページを作るまで管理人はあまり深く考えず単純に10分の1と10分の4だと思い込んでいました。それに引っ張りには引張確率として何か特別な計算があるのだろうとも思い込んでいました。

結論的には当然ですが引張確率理論値の計算（その1）で計算した値と同じになります。本ページでは計算（その1）とは別なやり方で行っているだけですが、改めて個別の数字からナンバーズ4の引張確率を計算をしてみたいと思います。

ナンバーズ4 数字の個数から求める引張確率

前回の抽せん結果に「0」が出現していた場合、次回の抽せんでも「0」が出現すれば引っ張りが発生したことになります。
例えば、前回「0, 1, 2, 3」→次回「0, 7, 8, 9」となれば「0」の引っ張りが発生したことになります。

数字を2個「0, 1」にすると、前回「0, 1, 2, 3」→次回「0, 7, 8, 9」、前回「0, 1, 2, 3」→次回「1, 7, 8, 9」、前回「0, 1, 2, 3」→次回「0, 1, 8, 9」などになれば「0」か「1」の引っ張りが発生したことになります。

このような感じで適当に選んだ数字が次回出現する確率を計算してみたいと思います。数字が1個～4個の場合まで計算すればナンバーズ4の引張確率は計算できます。いきなり4個は大変なので1個から順に計算していきます。以下では「o, p, q, r, x」を使っていますが、「o, p, q, r」は選んだ数字、「x」はそれ以外の数字という意味です。

数字が1個の場合

選ぶ数字は何でも良いので適当に「9」とします。
次回の抽せん数字が「9, x, x, x」、「9, 9, x, x」、「9, 9, 9, x」、「9, 9, 9, 9」になれば引っ張りが発生することになるのでそれぞれ分けて考えてみます。

・「o, x, x, x」：oは9の1個、xは9以外の9個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所。∴1×9³×4＝1×729×4＝2,916（通り）
・「o, o, x, x」：oは9の1個、xは9以外の9個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴1×9²×₄C₂＝1×81×6＝486（通り）
・「o, o, o, x」：oは9の1個、xは9以外の9個、並べ方はxの場所の選び方で4ヶ所。∴1×9×4＝36（通り）
・「o, o, o, o」：oは9の1個。∴1（通り）

結局、適当に数字を1個選んだ場合は次のようになります。
数字が1個の場合＝2,916＋486＋36＋1＝3,439（通り）。次回出現確率＝3,439÷10,000＝0.3439。

数字が2個の場合

選ぶ数字は何でも良いので適当に「8, 9」とします。
次回の抽せん数字が「8, x, x, x」、「8, 9, x, x」、「8, 8, 9, x」、「8, 8, 9, 9」などの結果になれば引っ張りが発生することになるのでそれぞれ分けて考えてみます。

数字が2個以上になるとダブルダブルの場合、oが8でpが9の「o, o, p, p」とoが9でpが8の「p, p, o, o」は2つとも「8, 8, 9, 9」と1つの同じものになります。下の計算では並び順を1/2にする形にしています。

・「o, x, x, x」：oは8か9の2個、xは8,9以外の8個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所。∴2×8³×4＝2×512×4＝4,096（通り）

・「o, o, x, x」：oは8か9の2個、xは8,9以外の8個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴2×8²×₄C₂＝2×64×6＝768（通り）
・「o, p, x, x」：oは8か9の2個、pはo以外の1個、xは8,9以外の8個、並べ方はxの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴2×1×8²×₄C₂＝2×1×64×6＝768（通り）

・「o, o, o, x」：oは8か9の2個、xは8,9以外の8個、並べ方はxの場所の選び方で4ヶ所。∴2×8×4＝64（通り）
・「o, o, p, x」：oは8か9の2個、pはo以外の1個、xは8,9以外の8個、並べ方はo,pの並び方が3通り、xの場所の選び方が4ヶ所。∴2×1×8×3×4＝192（通り）

・「o, o, o, o」：oは8か9の2個。∴2（通り）
・「o, o, o, p」：oは8か9の2個、pはo以外の1個、並べ方はpの場所の選び方で4ヶ所。∴2×1×4＝8（通り）
・「o, o, p, p」：oは8か9の2個、pはo以外の1個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所、並びのダブりで1/2。∴2×1×₄C₂÷2＝2×1×6÷2＝6（通り）

結局、適当に数字を2個選んだ場合は次のようになります。
数字が2個の場合＝4,096＋768＋768＋64＋192＋2＋8＋6＝5,904（通り）。次回出現確率＝5,904÷10,000＝0.5904。

数字が3個の場合

選ぶ数字は何でも良いので適当に「7, 8, 9」とします。
次回の抽せん数字が「7, x, x, x」、「7, 8, x, x」、「7, 8, 9, x」、「7, 7, 8, 9」などの結果になれば引っ張りが発生することになるのでそれぞれ分けて考えてみます。

数字が2個以上になるとダブルダブルの場合、oが8でpが9の「o, p, o, p」とoが9でpが8の「p, o, p, o」は2つとも「8, 9, 8, 9」と1つの同じものになります。下の計算では並び順を1/2にする形にしています。

・「o, x, x, x」：oは7か8か9の3個、xは7,8,9以外の7個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所。∴3×7³×4＝3×343×4＝4,116（通り）

・「o, o, x, x」：oは7か8か9の3個、xは7,8,9以外の7個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴3×7²×₄C₂＝3×49×6＝882（通り）
・「o, p, x, x」：oは7か8か9の3個、pはo以外の2個、xは7,8,9以外の7個、並べ方はxの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴3×2×7²×₄C₂＝3×2×49×6＝1,764（通り）

・「o, o, o, x」：oは7か8か9の3個、xは7,8,9以外の7個、並べ方はxの場所の選び方で4ヶ所。∴3×7×4＝84（通り）
・「o, o, p, x」：oは7か8か9の3個、pはo以外の2個、xは7,8,9以外の7個、並べ方はo,pの並び方が3通り、xの場所の選び方が4ヶ所。∴3×2×7×3×4＝504（通り）
・「o, p, q, x」：oは7か8か9の3個、pはo以外の2個、qはo,p以外の1個、xは7,8,9以外の7個、並べ方はxの場所の選び方が4ヶ所。∴3×2×1×7×4＝168（通り）

・「o, o, o, o」：oは7か8か9の3個。∴3（通り）
・「o, o, o, p」：oは7か8か9の3個、pはo以外の2個、並べ方はpの場所の選び方で4ヶ所。∴3×2×4＝24（通り）
・「o, o, p, p」：oは7か8か9の3個、pはo以外の2個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所、並びのダブりで1/2。∴3×2×₄C₂÷2＝3×2×6÷2＝18（通り）
・「o, o, p, q」：oは7か8か9の3個、pはo以外の2個、qはo,p以外の1個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴3×2×1×₄C₂＝3×2×1×6＝36（通り）

結局、適当に数字を3個選んだ場合は次のようになります。
数字が3個の場合＝4,116＋882＋1,764＋84＋504＋168＋3＋24＋18＋36＝7,599（通り）。
次回出現確率＝7,599÷10,000＝0.7599。

数字が4個の場合

選ぶ数字は何でも良いので適当に「6, 7, 8, 9」とします。
次回の抽せん数字が「6, x, x, x」、「6, 7, x, x」、「6, 7, 8, x」、「6, 7, 8, 9」などの結果になれば引っ張りが発生することになるのでそれぞれ分けて考えてみます。

数字が2個以上になるとダブルダブルの場合、oが8でpが9の「p, o, o, p」とoが9でpが8の「o, p, p, o」は2つとも「9, 8, 8, 9」と1つの同じものになります。下の計算では並び順を1/2にする形にしています。

・「o, x, x, x」：oは選んだ4個、xはo以外の6個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所。∴4×6³×4＝4×216×4＝3,456（通り）

・「o, o, x, x」：oは選んだ4個、xはo以外の6個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴4×6²×₄C₂＝4×36×6＝864（通り）
・「o, p, x, x」：oは選んだ4個、pはo以外の3個、xはo以外の6個、並べ方はxの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴4×3×6²×₄C₂＝4×3×36×6＝2,592（通り）

・「o, o, o, x」：oは選んだ4個、xはo以外の6個、並べ方はxの場所の選び方で4ヶ所。∴4×6×4＝96（通り）
・「o, o, p, x」：oは選んだ4個、pはo以外の3個、xはo以外の6個、並べ方はo,pの並び方が3通り、xの場所の選び方が4ヶ所。∴4×3×6×3×4＝864（通り）
・「o, p, q, x」：oは選んだ4個、pはo以外の3個、qはo,p以外の2個、xはo以外の6個、並べ方はxの場所の選び方が4ヶ所。∴4×3×2×6×4＝576（通り）

・「o, o, o, o」：oは選んだ4個。∴4（通り）
・「o, o, o, p」：oは選んだ4個、pはo以外の3個、並べ方はpの場所の選び方で4ヶ所。∴4×3×4＝48（通り）
・「o, o, p, p」：oは選んだ4個、pはo以外の3個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所、並びのダブりで1/2。∴4×3×₄C₂÷2＝4×3×6÷2＝36（通り）
・「o, o, p, q」：oは選んだ4個、pはo以外の3個、qはo,p以外の2個、並べ方はoの場所の選び方で4ヶ所中2ヶ所。∴4×3×2×₄C₂＝4×3×2×6＝144（通り）
・「o, p, q, r」：oは選んだ4個、pはo以外の3個、qはo,p以外の2個、rはo,p,q以外の1個。∴4×3×2×1＝24（通り）

結局、適当に数字を4個選んだ場合は次のようになります。
数字が4個の場合＝3,456＋864＋2,592＋96＋864＋576＋4＋48＋36＋144＋24＝8,704（通り）。
次回出現確率＝8,704÷10,000＝0.8704。

引張確率と出現確率

パターン別に引張確率を計算したときに次の値が出てきました。
シングル回：次回引張あり確率＝0.8704
ダブル回：次回引張あり確率＝0.7599
ダブルダブル回：次回引張あり確率＝0.5904
トリプル回：次回引張あり確率＝0.5904
フォース回：次回引張あり確率＝0.3439

数字の個数を変えて計算した場合と同じ値になっています。シングル回＝数字が4個、ダブル回＝数字が3個、ダブルダブル回＝数字が2個、トリプル回＝数字が2個、フォース回＝数字が1個なので考えてみれば当たり前の話です。なぜ管理人は「引張確率」を特別なものと考えていたのか意味不明です。

しかし、「引張確率」なんて特別なものはないとわかってしまえば簡単な話です。
シングル回の次回に引っ張りが発生する確率＝4個の数字のうち少なくとも1個の数字が次回出現する確率
ダブル回の次回に引っ張りが発生する確率＝3個の数字のうち少なくとも1個の数字が次回出現する確率
ダブルダブル回の次回に引っ張りが発生する確率＝2個の数字のうち少なくとも1個の数字が次回出現する確率
トリプル回の次回に引っ張りが発生する確率＝2個の数字のうち少なくとも1個の数字が次回出現する確率
フォース回の次回に引っ張りが発生する確率＝1個の数字が次回出現する確率
呆れるほど単純なお話です。

もう1つ情けない話ですが、1個の数字が次回出現する確率＝0.3439と上で計算しました。正直言って管理人は10個の数字が次回に出現する確率は10分の1、4ケタだから10分の4と深く考えずに思い込んでいました。あれぇ？と思い早速エクセルで実際に数えてみると、例えば「0」を含む4ケタの数字は10,000件中3,439件（※数字の個数は4,000です。少なくとも1個にすると3,439です。）、数字を2つ「0,1」にすると10,000件中5,904件（※数字の個数は8,000です。少なくとも1個にすると5,904です。）などと出てきます。3,439件しかなければ10分の4になるわけがないですよね。これには自分の馬鹿さ加減に呆れてしまいました。ナンバーズ3でも同じことをしているのでダブルのショックでした。

だけど実際に数えてみたおかげでナンバーズ4の引張確率理論値の計算に自信が持てたのは確かです。2つのやり方で計算して、更に実際に数えてみて全て同じ値なのだから自信は深まります。ということで、上では4個の数字までの計算でしたが、折角なので10個の数字まで計算してみようと思います。

ナンバーズ4 n個の数字のうち少なくとも1個含む確率

シングルの場合、次のような計算になります。
（シングル回の次回に引っ張りが発生する確率）＝1－（次回引張なし確率）＝1－（次回引張なし）÷（全通り）
＝1－（次回出現しない）÷（全通り）＝（4個の数字のうち少なくとも1個が次回に出現する確率）

ナンバーズ4のシングル回の引張確率は4個の数字のうち少なくとも1個が次回に出現する確率と同じで、次回引っ張りが発生しないのは4個の数字が1個も出現しないことと同じだということです。同じならば数字の個数を8個まで増やせば引っ張り＋飛び石の最大個数になるので、引っ張りか飛び石のどちらかが発生する確率が求まるはずです。

実際に計算してみます。例えば数字が4個の場合、その他の6個で決まるのは、（次回出現しない）＝6⁴（通り）です。なので（4個の数字のうち少なくとも1個が次回に出現する確率）＝1－6⁴÷（全通り）になります。

数字をn個にすると、（n個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－n）⁴÷（全通り）です。これを使って10個まで計算してみます。上で4個まで計算していますが再度やってみます。

（1個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－1）⁴÷（全通り）＝1－9⁴÷10,000＝0.3439
（2個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－2）⁴÷（全通り）＝1－8⁴÷10,000＝0.5904
（3個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－3）⁴÷（全通り）＝1－7⁴÷10,000＝0.7599
（4個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－4）⁴÷（全通り）＝1－6⁴÷10,000＝0.8704＝（引張の最大個数）
（5個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－5）⁴÷（全通り）＝1－5⁴÷10,000＝0.9375
（6個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－6）⁴÷（全通り）＝1－4⁴÷10,000＝0.9744
（7個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－7）⁴÷（全通り）＝1－3⁴÷10,000＝0.9919
（8個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－8）⁴÷（全通り）＝1－2⁴÷10,000＝0.9984＝（引張＆飛石の最大個数）
（9個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－9）⁴÷（全通り）＝1－1⁴÷10,000＝0.9999
（10個中少なくとも1個が次回出現する確率）＝1－（10－10）⁴÷（全通り）＝1－0⁴÷10,000＝1

「前回＆前々回の出現数字を絡めて購入しよう」的なものをよく目にします。ナンバーズ4では確かに8割以上の確率で出現する場合が多そうです。だけど、1個に数字を絞った途端に出現確率は3割4分になってしまう。理論的にはそんな感じです。

この計算はあくまでn個の数字というように数字に着目して計算したものです。回に着目した場合は次のようになります。
ナンバーズ4は、シングル（数字が4個）＝5,040/10,000、ダブル（数字が3個）＝4,320/10,000、ダブルダブル（数字が2個）＝270/10,000、トリプル（数字が2個）＝360/10,000、フォース（数字が1個）＝10/10,000の確率で理論的には出現します。

なので上手く表現できませんが、ナンバーズ4では0.8704の確率で引っ張りが発生する回が5,040/10,000、0.7599の確率で引っ張りが発生する回が4,320/10,000、0.5904の確率で引っ張りが発生する回が270/10,000と360/10,000、0.3439の確率で引っ張りが発生する回が10/10,000だけ存在することになります。

結局、
ナンバーズ4の引張確率＝0.8704×5,040/10,000＋0.7599×4,320/10,000＋0.5904×270/10,000＋0.5904×360/10,000＋0.3439×10/10,000＝0.8044975
になります。ホントにうまく表現できませんが回として次回引っ張りが発生する確率の理論値がこの値で、数字として適当に決めた数字が次回出現する確率の理論値が上で求めたn個中少なくとも1個が次回に発生する確率になります。