ナンバーズ4の当せん確率

全通りの個数

・ナンバーズ4：好きな4ケタの数字を選ぶ。（「0000」から「9999」の10,000個から）
この全通りの個数10,000個が当せん確率の分母になるのですが、実際にそれぞれ数字を選んでみます。
（1）千の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に1を選んだとします。
（2）百の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に2を選んだとします。
（3）十の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に3を選んだとします。
（4）一の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に4を選んだとします。
これで順番に「1，2，3，4」と4つの数字が選べました。ナンバーズ4で好きな4ケタの数字の選び方は4つのケタでそれぞれ10個から選べるので、10（千の位で選ぶ数）×10（百の位で選ぶ数）×10（十の位で選ぶ数）×10（一の位で選ぶ数）＝10,000（通り）＝全通り個数になります。

ストレートの当せん確率

ナンバーズ4ではストレートの当せん条件が「数字と並びの順序が一致」となっています。この条件を満たすのはシングルやダブルなどのパターンに関係なく絶対に1通りしかありません。（表1）
ナンバーズ4のストレートは全部で10,000通りあってその中に当せんになるのは1通りのみなので、ストレートの当せん確率は1/10,000になります。

シングル－ボックスの当せん確率

ナンバーズ4のボックスは表1のように、「4つとも数字が異なる」、「2つが同じ数字で他の2つはそれとはそれぞれ異なる数字」、「2つの異なる数字が2個ずつ」、「3つが同じ数字で他の1つはそれとは異なる数字」と分かれています。当サイトでは順に「シングル」、「ダブル」、「ダブルダブル」、「トリプル」と呼ぶことにします。ナンバーズ4ではこの4つの場合に分けて考える必要があります。まずは、4つとも数字が異なっているシングルパターンについて考えてみます。

ナンバーズ4のボックスでは当せん条件が「4ケタの数字が一致すれば並びの順序は問わない」となっています。表1のように書き出してみれば個数はわかります。もしも計算で個数を求めるなら、例えば抽せん数字が「1234」のようなシングルパターンのとき「1，2，3，4」の4つを「ア，イ，ウ，エ」と4つの場所にあてはめてみます。
（ア）：1～4の4個から選ぶ。仮に4を選んだとすると「4，イ，ウ，エ」になります。
（イ）：1～3の3個から選ぶ。仮に3を選んだとすると「4，3，ウ，エ」になります。
（ウ）：1～2の2個から選ぶ。仮に2を選んだとすると「4，3，2，エ」になります。
（エ）：残っているのは1の1個のみなので「4，3，2，1」になります。
抽せん数字が「1，2，3，4」のときボックスで「4，3，2，1」は当せんになります。このように数字が同じで並ぶ順序が異なるものは、ナンバーズ4のシングル－ボックスでは全10,000通り中に4（アで選ぶ数）×3（イで選ぶ数）×2（ウで選ぶ数）×1（エで選ぶ数）＝24（通り）なので当せん確率は24/10,000になります。

ダブル－ボックスの当せん確率

抽せん数字4個中2つが同じ数字で他の2つはそれとはそれぞれ異なる数字「1123」のようなダブルパターンについて考えてみます。当せん条件は上と同じで「数字が一致すれば並びの順序は問わない」で個数も書き出してみれば数えることができます。もしも計算で個数を求めるなら、例えば抽せん数字が「1123」のようなダブルパターンのときは2つある1を1a，1bと仮に区別し「1a，1b，2，3」の4つを「ア，イ，ウ，エ」と4つの場所にあてはめると考えます。
（ア）：1a，1b，2，3の4個から選ぶ。仮に1aを選んだとすると「1a，イ，ウ，エ」になります。
（イ）：1b，2，3の3個から選ぶ。仮に2を選んだとすると「1a，2，ウ，エ」になります。
（ウ）：1b，3の2個から選ぶ。仮に3を選んだとすると「1a，2，3，エ」になります。
（エ）：残っているのは1bの1個のみなので「1a，2，3，1b」になります。
実際には1aと1bは区別がつきません。「1a，2，3，1b」と「1b，2，3，1a」の2つが「1，2，3，1」と1つの同じものなので、数字がダブったときは当せんになる数を半分にします。
結局、ナンバーズ4のダブル－ボックスは全10,000通りで当せんになるのは（4（アで選ぶ数）×3（イで選ぶ数）×2（ウで選ぶ数）×1（エで選ぶ数））÷2（ダブルの分）＝12（通り）となり、当せん確率は12/10,000になります。

ダブルダブル－ボックスの当せん確率

抽せん数字4個中2つの異なる数字が2個ずつある「1122」のようなダブルダブルのパターンについて考えてみます。当せん条件は「数字が一致すれば並びの順序は問わない」で当せん個数も書き出してみれば数えることができます。もしも計算で個数を求めるなら、例えば抽せん数字が「1122」のようなダブルダブルパターンのとき2つずつある1と2を1a，1b、2a，2bと仮に区別し「1a，1b，2a，2b」の4つを「ア，イ，ウ，エ」と4つの場所にあてはめると考えます。
（ア）：1a，1b，2a，2bの4個から選ぶ。仮に1aを選んだとすると「1a，イ，ウ，エ」になります。
（イ）：1b，2a，2bの3個から選ぶ。仮に2bを選んだとすると「1a，2b，ウ，エ」になります。
（ウ）：1b，2aの2個から選ぶ。仮に1bを選んだとすると「1a，2b，1b，エ」になります。
（エ）：残っているのは2aの1個のみなので「1a，2b，1b，2a」になります。
実際には1aと1b、2aと2bは区別がつきません。「1a，2b，1b，2a」と「1b，2b，1a，2a」や「1a，2b，1b，2a」と「1a，2a，1b，2b」の4つが「1，2，1，2」と1つの同じものなので、2つ数字がダブったときは当せんになる数が1/4になります。
結局、ナンバーズ4のダブルダブル－ボックスは全10,000通りで当せんになるのは（4（アで選ぶ数）×3（イで選ぶ数）×2（ウで選ぶ数）×1（エで選ぶ数））÷4（ダブルダブルの分）＝6（通り）となり、当せん確率は6/10,000になります。

トリプル－ボックスの当せん確率

抽せん数字4個中3つが同じ数字で他の1つはそれとは異なる数字「1112」のようなトリプルパターンについて考えてみます。当せん条件は「数字が一致すれば並びの順序は問わない」で当せん個数も書き出してみれば数えることができます。もしも計算で個数を求めるなら、例えば抽せん数字が「1112」のようなトリプルパターンのとき3つある1を1a，1b，1cと仮に区別して「1a，1b，1c，2」の4つを「ア，イ，ウ，エ」と4つの場所にあてはめると考えます。
（ア）：1a，1b，1c，2の4個から選ぶ。仮に1aを選んだとすると「1a，イ，ウ，エ」になります。
（イ）：1b，1c，2の3個から選ぶ。仮に2を選んだとすると「1a，2，ウ，エ」になります。
（ウ）：1b，1cの2個から選ぶ。仮に1cを選んだとすると「1a，2，1c，エ」になります。
（エ）：残っているのは1bの1個のみなので「1a，2，1c，1b」になります。
実際には1aと1b、1cは区別がつかず「1a，2，1c，1b」、「1a，2，1b，1c」、「1b，2，1c，1a」、「1b，2，1a，1c」、「1c，2，1a，1b」、「1c，2，1b，1a」の6つが「1，2，1，1」と1つの同じものなので、トリプルのときは当せんになる数が1/6になります。
結局、ナンバーズ4のトリプル－ボックスは全10,000通りで当せんになるのは（4（アで選ぶ数）×3（イで選ぶ数）×2（ウで選ぶ数）×1（エで選ぶ数））÷6（トリプルの分）＝4（通り）となり、当せん確率は4/10,000になります。

セットの当せん確率

ナンバーズ4のセットは「ストレートとボックスに半分ずつ申し込むもの」となっています。
・シングルパターンの場合はボックス当せんの24通り中1通りは必ずストレートに当せんし残りの23通りがボックス当せん。
・ダブルパターンの場合はボックス当せんの12通り中1通りは必ずストレートに当せんし残りの11通りがボックス当せん。
・ダブルダブルパターンの場合はボックス当せんの6通り中1通りは必ずストレートに当せんし残りの5通りがボックス当せん。
・トリプルパターンの場合はボックス当せんの4通り中1通りは必ずストレートに当せんし残りの3通りがボックス当せん。
結局、ナンバーズ4のセットの当せん確率は、シングルのストレート当たりが1/10,000、ボックス当たりが23/10,000。ダブルのストレート当たりが1/10,000、ボックス当たりが11/10,000。ダブルダブルのストレート当たりが1/10,000、ボックス当たりが5/10,000。トリプルのストレート当たりが1/10,000、ボックス当たりが3/10,000になります。

ナンバーズ4 各パターンの個数

シングルパターン

「抽せん数字が1234のとき」のシングルパターンは全10,000通り中いくつあるのか考えてみます。エクセル等で「0000」～「9999」まで全て書いてみてシングルの個数を実際に数えると確実に個数がわかりますがここでは違う方法でやってみます。シングルは千の位、百の位、十の位、一の位で各ケタの数字が全て異なるパターンなので、
（1）千の位：「0～9」の10個から1つ選ぶ。仮に0を選んだとします。（0はもう選べない。）
（2）百の位：「1～9」の9個から1つ選ぶ。仮に1を選んだとします。（0と1はもう選べない。）
（3）十の位：「2～9」の8個から1つ選ぶ。仮に2を選んだとします。（0と1と2はもう選べない。）
（4）一の位：「3～9」の7個から1つ選ぶ。
というように、シングルパターンでは1つ数字を選ぶとその数字は使えなくなるので、次からは1つ減った中から選ぶことになります。
結局、ナンバーズ4シングルパターンの個数＝10（千の位）×9（百の位）×8（十の位）×7（一の位）＝5,040（通り）となります。

ダブルパターン

「抽せん数字が1123のとき」のダブルパターンを考えてみます。これも全て書いて実際に数えてみると確実に個数がわかりますが違う方法でやってみます。
ダブルパターンの数＝（10個中3個の組合せ）×（3個のうちどれをダブルにするか）×（並べ方）で求めることができます。
（10個中3個の組合せ）
まずは、「1123」の1，2，3のようなダブル数字以外の3つの数字を決めます。1つ目は「0～9」の10個から選び、2つ目は1つ目で選んだ以外の9個から、3つ目は1つ目と2つ目で選ばなかった残りの8個から選ぶことになるので、10個中3個の選び方＝10（1つ目）×9（2つ目）×8（3つ目）＝720（通り）。このうち1つ目、2つ目、3つ目でそれぞれ選んだ数字が「1，2，3」、「1，3，2」、「2，1，3」、「2，3，1」、「3，1，2」、「3，2，1」の6通りは同じ1つの組なので実際は720通りの1/6で良いことになり、（10個中3個の組合せ）＝720（3個の選び方）÷6（重複分）＝120（通り）になります。
（どれをダブルにするか）
上で3つの数字を1，2，3にすると決めました。このうちどれをダブルにするかの個数は、「1をダブルにする」か「2をダブルにする」か「3をダブルにする」の3通りになります。
（並べ方）
3つの数字が1，2，3で1をダブルにすると決めたことにします。このとき並べ方は「1123」、「1132」、「1213」、「1231」、「1312」、「1321」、「2113」、「2131」、「2311」、「3112」、「3121」、「3211」の12通りになります。
結局、ナンバーズ4ダブルパターンの個数＝120（10個中3個の組合せ）×3（ダブル数字の選び方）×12（並べ方）＝4,320（通り）となります。

ダブルダブルパターン

「抽せん数字が1122のとき」のダブルダブルパターンを考えてみます。この場合は2つ数字を選び、その2つの数字を2個ずつ使って並べ替えれば良いので、
ダブルダブルパターンの数＝（10個中2個の組合せ）×（並べ方）で求めることができます。
（10個中2個の組合せ）
まずは、「1122」の1，2のような2つの数字を決めます。1つ目は「0～9」の10個から選び、2つ目は1つ目で選んだ以外の9個から選ぶことになるので、10個中2個の選び方＝10（1つ目）×9（2つ目）＝90（通り）。このうち1つ目、2つ目で選んだ数字が「1，2」と「2，1」の2通りは同じ1つの組なので実際は半分で良いことになり、（10個中2個の組合せ）＝90（2個の選び方）÷2（重複分）＝45（通り）になります。
（並べ方）
2つの数字を1，2に決めたとすると、両方とも2回ずつ使って4つの数字にすることになります。このときの並べ方は「1122」、「2211」、「1221」、「2112」、「1212」、「2121」の6通りになります。
結局、ナンバーズ4ダブルダブルパターンの個数＝45（10個中2個の組合せ）×6（並べ方）＝270（通り）となります。

トリプルパターン

「抽せん数字が1112のとき」のトリプルパターンを考えてみます。
トリプルパターンの数＝（10個中2個の組合せ）×（どちらをトリプルにするか）×（並べ方）で求めることができます。
（10個中2個の組合せ）
まずは、「1112」の1，2のような2つの数字を決めます。1つ目は「0～9」の10個から選び、2つ目は1つ目で選んだ以外の9個から選ぶことになるので、10個中2個の選び方＝10（1つ目）×9（2つ目）＝90（通り）。このうち1つ目、2つ目で選んだ数字が「1，2」と「2，1」の2通りは同じ1つの組なので実際は半分で良いことになり、（10個中2個の組合せ）＝90（2個の選び方）÷2（重複分）＝45（通り）になります。
（どれをトリプルにするか）
上で2つの数字を1，2にすると決めました。どちらをトリプルにするかは、「1をトリプルにする」か「2をトリプルにする」2通りになります。
（並べ方）
2つの数字が1と2で1をトリプルにすると決めたことにします。このとき並べ方は「1112」、「1121」、「1211」、「2111」の4通りになります。
結局、ナンバーズ4トリプルパターンの個数＝45（10個中2個の組合せ）×2（トリプル数字の選び方）×4（並べ方）＝360（通り）となります。

フォースパターン

最後に表1にはありませんが4つとも同じ数字のフォースパターンの個数も書いておきます。これは単純に「0000」「1111」「2222」・・・「9999」しかないので個数はすぐにわかります。
結局、ナンバーズ4フォースパターンの個数＝10通りになります。
各パターンを合計してみると、（シングル）＋（ダブル）＋（ダブルダブル）＋（トリプル）＋（フォース）＝5,040＋4,320＋270＋360＋10＝10,000＝（全通り）となり一番上で計算した全通りの個数と一致するので間違いのないことがわかります。